在数学中，指数函数是极其基础的一部分，几乎覆盖了初中和高中数学的全部学科内容，而导数是微积分中的一大难点，是许多学生头疼的地方。那么，指数函数的导数又该如何推导呢？本篇文章就为大家进行讲解。
首先，对于任意正实数a，我们都可以定义指数函数 y=a^x，其中x为自变量，y为因变量，表示对a进行x次幂的结果，是一个单调递增的函数。而导数的概念我们在初中数学或高中数学中也接触过，是函数在某一点处的变化率，表示极小的量变化时函数值的变化程度，可以被视作一条切线的斜率。
带着这些基础概念，我们来推导一下指数函数的导数。首先，我们来定义一个计算函数的差商，差商f(x,y)表示曲线上点(x,y)和(x h,y h)之间的斜率，其中h是趋近于0的小量。
我们发现，当h越来越小时，差商越来越接近导数，即： f'(x) = lim(h->0)(f(x h) - f(x))/h，对于指数函数而言，令y=f(x)=a^x，h时刻的函数值为f(x h)=a^(x h)，于是： f'(x) = lim(h->0)((a^(x h)-a^x)/h)。
接着，我们利用数学公式：a^n - b^n = (a-b)(a^(n-1) a^(n-2)b ... ab^(n-2) b^(n-1))，可以将被除式化简为：f'(x) = lim(h->0)(a^x(a^h - 1)/h)，再利用e的极限，即 lim(h->0)(e^h-1)/h=1，可得f'(x)=a^xlna，得证：指数函数的导数为a^xlna。
